Geometria Descriptiva 501 Nocturno

La geometría descriptiva, que posee el carácter de ciencia aplicada, ha tenido un largo proceso de desarrollo desde las incipientes representaciones trazadas en la edad de piedra. Los Elementos de Euclides, los estudios de Descartes en geometría analítica y la crucial aportación de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII, quien la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma.

Desde la antigüedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar gráficamente el entorno que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en las cuevas prehistóricas, pero no es hasta el renacimiento cuando se intenta representar la profundidad.

Las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos métodos que les permitan representar fielmente la realidad. Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos otros.

Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Gérard Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría también fue estudiada por Blaise Pascal o por de la Hire, pero debido al gran interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión.

El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge «Geometría descriptiva».

Aplicaciones

Toda disciplina que requiera la representación de elementos en una superficie plana (papel) encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado. Es por esto que la Geometría Descriptiva se encuentra en todos los planes de estudios de Ingeniería, Arquitectura, Diseño, Topografía, entre otras. Una parte de ella estudia la Proyección Acotada, en la cual se basan los planos topográficos y de obras públicas, los cuales son trazados e interpretados normalmente por topógrafos.

Como asignatura de estudio obligatorio en las escuelas de ingeniería y arquitectura del mundo entero, el estudio de la Geometría Descriptiva persigue el desarrollo intelectual del estudiante en dos campos distintos pero complementarios: la comprensión del espacio tridimensional que rodea al individuo y el desarrollo de una estructura de pensamiento lógica, lo cual permite al profesional sentar las bases de otras disciplinas, como la mecánica de cuerpos rígidos, deformables y fluidos, enfrentando, al mismo tiempo, los problemas específicos de su área según un enfoque heurístico, no memorístico, de la realidad objeto de estudio.

Pudiera afirmarse que la Geometría Descriptiva es al ejercicio profesional del diseñador lo que la gramática es al idioma (palabras de Harry Osers). Como medio de expresión, requiere de una claridad y rigurosidad excepcional. Bien dice el refrán: una imagen dice más que mil palabras.

¿Qué es Geometría Descriptiva y sus objetivos?. Es la ciencia de las relaciones y análisis en el espacio tridimensional. Tiene por objeto la representación de las figuras geométricas del espacio en un plano, de tal manera que las construcciones en el espacio se puedan reducir a construcciones más cómodas en un plano. Se puede determinar un punto del espacio mediante sus proyecciones desde dos puntos de vista distintos, sobre un plano. Uno de los objetivos de la geometría descriptiva es capacitar a los usuarios del dibujo a la interpretación y representación de los objetos tridimensionalmente en un plano bidimensional.

Sistema de Proyecciones

Punto de vista donde van a partir las lineas proyectantes, en todo sistema de proyeccción intervienen cuatro elementos:

a) Objeto:Es el Objeto que se desea representar.
b) Punto de Observación: Punto desde el cual se observa el objeto que se requiere representar.
c) Superficie de Proyección: Es la superficie sobre la cual se proyectará el objetivo.
d) Proyectantes: Son rectas infinitas imaginarias que unen los puntos de observación.

Los Sistema de Proyección más usados son:

a) Sistema Cilindrico: Todas sus lineas son paralelas entre si.
b) Sistema Oblicuo: Aristas que conforman el solido son inclinadas (90°).
c) Sistema Acotado: Ver la Proyección de los puntos de arriba para abajo.

Procedimiento General:

Es conocido el hecho de que la intersección entre dos planos es una recta, el procedimiento para obtener dicha recta aunque resulte paradójico, consiste en utilizar otros dos planos auxiliares cualesquiera que cortarán a los dos primeros en sendas rectas que se cortarán en puntos pertenecientes a la recta intersección de los dos primeros de manera que uniendo dichos puntos obtendremos la recta intersección buscada inicialmente.

Intersección de dos planos cualesquiera

En el caso de intersecar dos planos oblicuos, la intersección de sus trazas homónimas, determinan las trazas h y v´ respectivamente, trazas de la recta intersección de ambos planos.

Intersección de un plano oblicuo cualquiera con otro horizontal.

La intersección de un plano horizontal cualquiera con un plano oblicuo P, P´ es una recta horizontal del plano dado [P], de la siguiente manera:

Intersección de un plano oblicuo cualquiera con otro proyectante.

Basta recordar que para hallar la intersección entre dos planos es suficiente con intersecar las trazas homónimas de ambos planos.

[Oblicuo - Proyectante al vertical]

[Proyectante al vertical quiere decir que en el plano vertical todo queda confundido en una línea]

[Oblicuo - Proyectante al horizontal]

Intersección de un proyectante al vertical con un proyectante al horizontal:

Intersección de planos proyectantes verticales

Intersección de planos proyectantes horizontales

Intersección de un plano oblicuo cualquiera con otro paralelo a L.T.

Intersección de Planos Paralelos a la Línea de Tierra

Con auxilio del plano de perfil

Intersección de un plano oblicuo cualquiera con otro paralelo al vertical:

Intersección de un plano cualquiera con el segundo bisector

Intersección de un plano cualquiera con el primer bisector

Intersección de un plano que pasa por LT con otro perpendicular al 2º Bisector

1º Auxiliémonos del Plano de Perfil [M]

2º Hallemos la proyección del punto B en este plano de perfil

3º Auxiliémonos ahora de un plano paralelo a la línea de tierra [T] que contenga al punto B perteneciente a su vez al plano [Q] con el que intersecará según la recta R

4º La intersección de [T] con [P] es la recta S

5º Intersequemos ahora R con S y obtendremos un punto K de la recta donde se cortan [Q] y [P], lo cual unido al punto donde el plano [P] corta a la L.T. nos da lugar a la recta intersección buscada.

Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan en un mismo punto sobre LT:

Intersección de dos planos cuando sus trazas se cortan fuera de los límites del dibujo:

6. Intersección de Recta y Plano

De todos es conocido el hecho de que la intersección entre una recta y un plano es un punto, lo que puede no parecer tan claro es que para hallar dicha intersección es necesario contener dicha recta en un plano, para así intersecando ambos planos, obtener otra recta que intersecará con la primera en la intersección buscada, es decir, el punto de intersección entre el plano y la recta iniciales.

En el sistema Diédrico la resolución de este problema no entraña dificultad alguna como vamos a ver a continuación:

Visibilidad de una recta al cortar un plano:

Toda recta al cortar un plano que se considere opaco, queda dividida en dos partes o semirrectas precisamente a partir del punto de intersección con el plano, una de estas partes o semirrectas es visible y otra oculta, excepto cuando el plano es de perfil.

Intersección de una recta dada con un plano que pasa por LT

Intersección de una recta con un plano dado por dos rectas:

Recta que corta a otras tres dadas

• Tomemos tres rectas R, S y T

• Tomemos un punto A perteneciente por ejemplo a R

• Hallemos los planos P y Q respectivamente definidos a partir de dicho punto A y las otras dos rectas.

• Intersequemos ahora los planos así obtenidos

• La recta intersección de ambos pasará necesariamente por A pero además será una de las infinitas rectas que podemos obtener que corten a las tres dadas.

Recta que corta a otras dos siendo paralela a otra dada:

Trazamos por cada una de las rectas dadas sendos planos paralelos a la tercera recta, siendo su intersección la recta que buscamos:

Intersección de una recta contenida en el 2º bisector y paralela a LT, con un plano perpendicular al 2º bisector.

Contenemos r en H

Intersecamos H y P ! S

La intersección R con S ! I

Punto de Intersección de tres planos:

Sabido es que la intersección entre dos planos es una recta y que la intersección de esta con otro plano es un punto, que a su vez será la intersección entre los tres planos.

1. Representar con su visibilidad en escala 1/100, el primas oblicuo de bases pentagonales identificadas por los vértices 1,2,3,4,5 y 1*,2/,3*,4*,5* la base inferior, la cual esta apoyada en el plano horizontal tiene su centro en el punto c(5.5.0), el vertice uno tiene de coordenadas 1(7.5.0) el vertice uno prima de la cara superior 1*(14.9.7).

2.Representar con su visible escala 1/175, el cono circular oblicuo, cuya base es paralela al plano horizontal y tiene nueve metros de diámetro. el centro de la base es el punto c(7.11.7) y su vertice es el punto v(17.0.7)

3. Representar con su visible escala 1/250 la piramide de base octogonal, paralela al plano horizontal, el punto c(14.7.17) es su centro y el punto 1 (19.7.17) es uno de los ocho vertices de la base, el punto v(4.4.5) es el vertice inferior de la piramide.


NOTA: TODOS LOS EJERCICIOS DEBEN ESTAR EN EL PLANO ORTOGONAL DADO EN CLASE, EJE X HORIZONTAL , EJE Y VERTICAL.
SALUDOS CORDIALES. DIA 09-05-2010

1. Para que sirven los puntos Homólogos en la Geometria?

2. Que diferencia existe entre los puntos Homólogos y punto de fuga?

3. Explique con tus propias palabras para que sirve el abatimiento